Теоретико-множественное истолкование натурального числа

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральным числам дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о числе созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном числе как о частном при делении двух натуральных чисел, из которых делимое не делится нацело на делитель.

Дальнейшие расширения понятия число обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Подробно о педагогике:

Сущность методического анализа
Наибольших затрат времени в деятельности преподавателя требуют анализ, выбор и отбор содержания учебного материала по предмету, а также переработка (дидактическая и методическая) учебного материала при подготовке к уроку. Учебным материалом мы называем ту часть конкретного социального опыта, подлеж ...

Игра как ведущая деятельность детей дошкольного возраста
Жизнь ребенка складывается из выполнения разнообразных действий. Все действия детей можно определенным образом сгруппировать и отнести к разным видам деятельности. Деятельностью называется совокупность действий отвечающих одним и тем же побуждениям. Это целостный мотивированный акт поведения. Деяте ...

Необходимость синергетического подхода в управлении образованием
В условиях демократизации общества образование, все больше приобретая характер открытой системы, имеет возможность вариативного пути развития. В то же время, в многокомпонентной системе в образовании идет постоянное движение, результатом которого является переход его структур и подсистем из одного ...