Теоретико-множественное истолкование натурального числа

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральным числам дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о числе созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном числе как о частном при делении двух натуральных чисел, из которых делимое не делится нацело на делитель.

Дальнейшие расширения понятия число обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Подробно о педагогике:

Тревожность как проявление эмоциональной сферы младшего школьника
Среди наиболее актуальных проблем, возникающих в практической деятельности человека, особое место занимают проблемы, связанные с психическими состояниями. В ряду различных психических состояний наибольшее внимание уделяется состоянию беспокойства, или тревоги. Эмоции и чувства представляют собой от ...

Ролевые игры как средство развития
Ролевая игра служит важным источником формирования социального сознания ребенка. В ролевой игре школьники могут на иностранном языке активизировать и реализовать все компоненты общения. Критики несправедливо говорят о том, что ролевая игра «требует много времени». Наоборот: ролевая игра эффективно ...

Методика ознакомления детей с творчеством художников – иллюстраторов
С книжкой ребенок знакомится с младшего дошкольного возраста и задача взрослого заключается в том, чтобы вызвать у детей интерес к ней, к содержащимся в ней рисункам, желание внимательно их рассматривать – «читать рисунки», узнавать знакомые образы, эмоционально откликаться на них, испытывая радост ...