Преемственность

Ниже приводятся материалы, почерпнутые из математических источников и характеризующие связь понятий числа и множества с другими математическими понятиями (в частности, с общим понятием структуры). Повторяем, это делается вовсе не для того, чтобы решать какие-либо собственно математические вопросы (большинство из затрагиваемых вопросов уже решено и стало достоянием «широкой» литературы). Задача в другом — сопоставить имеющиеся решения со способами построения учебного предмета с целью выявления некоторых логико-психологических вопросов.

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями. Мы специально рассматриваем особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы). В заключение этого раздела кратко перечисляются основные логико-психологические проблемы, рассмотрение которых является предпосылкой работы в области программирования учебного математического материала.

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа — исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике.

Характерно следующее обстоятельство. Методисты, полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношений множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. «Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой». «Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех . Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако, в это время он еще далек от овладения понятием числа». В этих высказываниях, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой — возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе «приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счета». Такой подход к выбору начальных пунктов обучения становится возможным по крайней мере при трех допущениях.

Во-первых, при допущении, что категории количества и порядка хотя и возникают в филогенезе до и независимо от числа, однако с его появлением уже теряют свою самостоятельность, «снимаются» числом настолько, что практически не могут служить основой для формирования математических понятий. Число, как результат взаимодействия этих категорий, воплощает их настолько полно, что сами они могут быть раскрыты именно на числах, последовательность которых, кстати, ребенок быстро и успешно усваивает. Именно внутри числа и счета необходимо выделять их двойственную природу.

Во-вторых, до появления числа, и счета количественная оценка совокупностей как в фило-, так и в онтогенезе носит доарифметический характер; «доарифметические операции» связаны с элементарными количественными и порядковыми представлениями. Возникновение в филогенезе арифметики приводит к сознательному счету и полноценным числовым представлениям. В онтогенезе, который не повторяет полностью филогенеза, очевидно, следует сразу начинать с формирования «сознательного счета» и «полноценных числовых представлений».

Двойственная природа чисел и счета требует особого внимания педагога к «доарифметической» подготовке ребенка, но сама по себе, вне обучения числу и счету, она смысла не имеет.

Подробно о педагогике:

Принципы и методы выявления одаренных детей
Выявление одаренных детей должно начинаться уже в начальной школе на основе наблюдения, изучения психологических особенностей, речи, памяти, логического мышления. Работа с одаренными и способными учащимися, их поиск, выявление и развитие должны стать одним из важнейших аспектов деятельности школы. ...

Психологические аспекты сущности креативности
Чтобы перейти от репродуктивного обучения к творческому, деятельность … должна организовываться таким образом, что бы она приводила к получению учеником качественно новых результатов, как в обучении, так и в его развитии. А. В. Хуторской Понимание сущности творчества и лежащих в его основе способно ...

Психолого-педагогические принципы метода активизации учебной деятельности учащихся средней школы
Основные психолого-педагогические принципы метода активизации органически связаны и вытекают из вышеуказанных теоретических положений, что предопределяет широкую вариантность их применения [12]. В плане стратегии обучения психолого-педагогические принципы организации учебной деятельности можно расс ...